VẬT LÝ K37 - BAY CAO ƯỚC MƠ: Đề thi kết thúc môn xác suất thống kê năm học 2012-2013 và Gợi ý giải đề thi kết thúc học phần Xác suất thống kê full, học kì 2 năm học: 2012

Đề thi kết thúc môn xác suất thống kê năm học 2012-2013

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là p (0 < p < 1). Ta bắn vào mục tiêu trong điều kiện như nhau đến khi có viên đạn trúng mục tiêu thì ngừng bắn. Gọi X là số viên đạn cần bắn.

a. Tìm P[X = k], k = 1,2,… suy ra bảng phân phối của X.

b. Tìm E(X).

Câu 2: X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.

Biết $ f_{X}(x)=e^{-x}.I[x>0]$ và $ f_{Y}(y)=2e^{-2y}.I[y>0]$. Tìm hàm mật độ của Z = X + Y.

Câu 3 : Đám đông mô tả bởi dấu hiệu X có hàm mật độ f(x;$ \theta$) = $\dfrac{1}{2\theta}e^{-\frac{x}{2\theta}}I[x>0]$.

a. Tìm E(X) và D(X)

b. Chứng tỏ : $ \dfrac{\overline{X_{n}}}{2}$ = $ \dfrac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{2}$ là ước lượng không chệch và hiệu quả của $ \theta$, với $ X_{1},X_{2},...,X_{n}$ là mẫu n quan sát độc lập.

Câu 4: Quan sát điểm Lý (X) của một số học sinh lớp 10, ta có:

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n_i	1	3	5	7	10	12	9	6	3	2

Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng số học sinh lớp 10 có điểm Lý trên trung bình (X ≥ 5). Biết trường đang khảo sát có 800 học sinh lớp 10. Cho biết 1 − α = 99%, t_α=2,58.

Hết

Gợi ý giải đề thi kết thúc học phần Xác suất thống kê full, học kì 2 năm học: 2012 - 2013

Bài 1:

X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, ..., n, ..., $ +\infty$

Đặt $ A_{i}$ là biến cố viên đạn thứ i bị trượt mục tiêu. ( i = $\overline{1,+\infty}$).

Suy ra $ \overline{A_{i}}$ là biến cố viên đạn thứ i bắn trúng mục tiêu.

=> P($A_{i}$) = q , với q = 1- p.

P($ \overline{A_{i}}$) = p.

Ta có:

P[X=1] = P($\overline{A_{1}}$) = p

P[X=2] = P($A_{1}$).P($ \overline{A_{2}}$) = p.q

P[X=3] = P($A_{1}$).P($A_{2}$).P($\overline{A_{3}}$) = p.$ q^{2}$

...

P[X=k] = P($ A_{1}$).P($ A_{2}$).P($ A_{3}$)....P($ A_{k-1}$).P($ \overline{A_{k}}$) = p.$ q^{k-1}$

...

P[X=$ +\infty$] = $ \lim_{k\rightarrow+\infty}$ p.$ q^{k-1}$ = 0

Ta có bảng phân phối của X:

X	1	2	3	…	k	…	$ +\infty$
P^X	p	p.q	p.q²	…	p.q^k-1	…	0

X rời rạc nên ta có:

E(X) = $ \sum_{i=1}^{k}$ $ x_{i}.P[X=x_{i}]$ = $ \sum_{i=1}^{k}$ $ i.P_{i}$

= 1.p + 2.p.q + 3.p.$ q^{2}$ + ... + k.p.$ q^{k-1}$

=p.(1 + 2.q + 3.$ q^{2}$ + ... + k.$ q^{k-1}$)

Ta có:

$ (q+q^{2}+q^{3}+ ... + q^{k})'$ = $ 1+2q+3.q^{2} + ... + k. q^{k-1}$ = $ (\dfrac{q.(1-q^{k})}{1-q})'$

($ q^{k}$~0)

= $ (\dfrac{q}{1-q})'$ = $ \dfrac{1}{p^{2}}$

=> E(X) = $ \dfrac{1}{p}$

Vậy $ E(X)=\dfrac{1}{p}$

Bài 2:

f_x(x)=e^-x.I[x>0]

f_y(y) = 2e^-2y. I[y>0]

Vì X, Y độc lập nên ta có hàm mật độ đồng thời của (X,Y):

f_xy(x,y) = $ f_{X}(x).f_{Y}(y)$ = $ 2e^{-x-2y}$.I(x>0,y>0)

Đặt $ \left\{\begin{matrix}Z=X+Y\\V=-X-2Y\end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}X=2Z+V\\Y=-Z-V\end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2z+v\\y=-z-v\end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{2z+v>0}\\-z-v>0\end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{-2z<v}\\v<-z\end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{-2z<v<-z}\\z>0\end{matrix}\right.$

Suy ra:
$ J=\begin{vmatrix}2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=-1$

Hàm mật độ đồng thời của (Z,V) là:

$ f_{z,v}({z,v})=f_{x,y}[x(z,v);y(z,v)].\begin{vmatrix}J\end{vmatrix}.I[{-2z<v<-z<0}]$

= 2$ e^{v}$.$ I[{-2z<v<-z<0}]$

Hàm mật độ của Z là:

$ f_{z}({z})= \int_{-2z}^{-z}f_{z,v}({z,v})dvI[z>0]$

= $ \int_{-2z}^{-z}$ $ 2e^{v}dvI[z>0]$

= $ (2e^{-z}-2e^{-2z}).I[z>0]$

Vậy hàm mật độ của Z = X + Y là :

$ f_{z}({z})$ = $ (2e^{-z}-2e^{-2z}).I[z>0]$

Bài 3:

Đặt λ=$ \dfrac{1}{2\theta}$ ta có hàm mật độ:

f(x;$ \theta$) = $ \dfrac{1}{2\theta}.e^{-\frac{x}{2\theta}}.I[x>0]$

= $ \lambda.e^{-\lambda.x}.I[x>0]$

Ta có:

$ \int_{o}^{+\infty}\lambda.e^{-\lambda.x}dx=1$

$ \Leftrightarrow \int_{o}^{+\infty}e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{1}{\lambda}$

Đạo hàm 2 vế theo $ \lambda$ ta được:

$ -\int_{o}^{+\infty}x.e^{-\lambda.x}dx=-\dfrac{1}{\lambda^{2}}$ (*)

$ \Leftrightarrow \int_{o}^{+\infty}x.\lambda.e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{1}{\lambda}$

$ \Leftrightarrow E(X)=\int_{o}^{+\infty}x.f(x)dx=\dfrac{1}{\lambda}=2\theta$

Đạo hàm 2 vế (*) theo $ \lambda$ ta được:

$ \int_{o}^{+\infty}x^{2}.e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{2}{\lambda^{3}}$

$ \Leftrightarrow \int_{o}^{+\infty}x^{2}.\lambda.e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{2}{\lambda^{2}}$

$ \Leftrightarrow E(X^{2})=\int_{o}^{+\infty}x^{2}.f(x)dx=\dfrac{2}{\lambda^{2}}$

$ \Leftrightarrow D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)$ = $ \dfrac{2}{\lambda^{2}}$ - $ \dfrac{1}{\lambda^{2}}$ = $ \dfrac{1}{\lambda^{2}}$ = $ 4.\theta^{2}$

Vì mẫu n $ X_{i}$ độc lập nên ta có:

$ E\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ = $ E\left ( \dfrac{1}{2n}.\sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )$ = $ \dfrac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})$

= $ \dfrac{1}{2n}.n.2\theta=\theta$

=> $ \dfrac{\overline{X_{n}}}{2}$ là ước lượng không chệch của $ \theta$

Lại có:

$ D\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ = $ D\left ( \dfrac{1}{2n}.\sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )$ = $ \left(\dfrac{1}{2n} \right )^{2}\sum_{i=1}^{n}D(X_{i})$

= $ \left(\dfrac{1}{2n} \right )^{2}.n.(2\theta)^{2}=\dfrac{\theta^{2}}{n}$

Cũng có:

lnf(x;$ \theta$) = $ ln\left (\dfrac{1}{2\theta}.e^{-\frac{x}{2\theta}}\right)=ln\dfrac{1}{2\theta}-\dfrac{X}{2\theta}$

$ \Leftrightarrow\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}=-\dfrac{1}{2\theta^{2}}.2\theta+\dfrac{X}{2\theta^{2}}$

= $ \dfrac{1}{2\theta^{2}}.(X-2\theta)$

=> $ E\left(\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^{2}=E\left[\dfrac{1}{2\theta^{2}}.(X-2\theta)\right]^{2}=\dfrac{1}{4\theta^{2}}.E[X-E(X)]^{2}$

= $ \dfrac{D(X)}{4\theta^{2}}=\dfrac{4\theta^{2}}{4\theta^{4}}=\dfrac{1}{\theta^{2}}$

=> $ \dfrac{1}{n.E\left(\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^{2}}=\dfrac{\theta^{2}}{n}$

=> $ D\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ = $ \dfrac{1}{n.E\left(\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^{2}}=\dfrac{\theta^{2}}{n}$

=> $ D\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ nhỏ nhất.

Vậy $ \dfrac{\overline{X_{n}}}{2}$ là ước lượng hiệu quả của $ \theta$

Bài 4:

Ta có bảng sau: