SPVATLYK37 Welcome to

Đề thi kết thúc môn xác suất thống kê năm học 2012-2013

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là p (0 < p < 1). Ta bắn vào mục tiêu trong điều kiện như nhau đến khi có viên đạn trúng mục tiêu thì ngừng bắn. Gọi X là số viên đạn cần bắn.

a. Tìm P[X = k], k = 1,2,… suy ra bảng phân phối của X.

b. Tìm E(X).

Câu 2: X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.

Biết

$f_{X}(x)=e^{-x}.I[x>0]$ và

$f_{Y}(y)=2e^{-2y}.I[y>0]$ . Tìm hàm mật độ của Z = X + Y.

Câu 3 : Đám đông mô tả bởi dấu hiệu X có hàm mật độ f(x;

$\theta$ ) =

$\dfrac{1}{2\theta}e^{-\frac{x}{2\theta}}I[x>0]$ .

a. Tìm E(X) và D(X)

b. Chứng tỏ :

$\dfrac{\overline{X_{n}}}{2}$ =

$\dfrac{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{2}$ là ước lượng không chệch và hiệu quả của

$\theta$ , với

$X_{1},X_{2},...,X_{n}$ là mẫu n quan sát độc lập.

Câu 4: Quan sát điểm Lý (X) của một số học sinh lớp 10, ta có:

x_i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n_i	1	3	5	7	10	12	9	6	3	2

Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng số học sinh lớp 10 có điểm Lý trên trung bình (X ≥ 5). Biết trường đang khảo sát có 800 học sinh lớp 10. Cho biết 1 − α = 99%, t_α=2,58.

Hết

Gợi ý giải đề thi kết thúc học phần Xác suất thống kê full, học kì 2 năm học: 2012 - 2013

Bài 1:

X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, ..., n, ...,

$+\infty$

Đặt

$A_{i}$ là biến cố viên đạn thứ i bị trượt mục tiêu. ( i =

$\overline{1,+\infty}$ ).

Suy ra

$\overline{A_{i}}$ là biến cố viên đạn thứ i bắn trúng mục tiêu.

=> P(

$A_{i}$ ) = q , với q = 1- p.

$\overline{A_{i}}$ ) = p.

Ta có:

P[X=1] = P(

$\overline{A_{1}}$ ) = p

P[X=2] = P(

$A_{1}$ ).P(

$\overline{A_{2}}$ ) = p.q

P[X=3] = P(

$A_{1}$ ).P(

$A_{2}$ ).P(

$\overline{A_{3}}$ ) = p.

$q^{2}$

...

P[X=k] = P(

$A_{1}$ ).P(

$A_{2}$ ).P(

$A_{3}$ )....P(

$A_{k-1}$ ).P(

$\overline{A_{k}}$ ) = p.

$q^{k-1}$

...

P[X=

$+\infty$ ] =

$\lim_{k\rightarrow+\infty}$ p.

$q^{k-1}$ = 0

Ta có bảng phân phối của X:

X	1	2	3	…	k	…	$+\infty$
P^X	p	p.q	p.q²	…	p.q^k-1	…	0

X rời rạc nên ta có:

E(X) =

$\sum_{i=1}^{k}$

$x_{i}.P[X=x_{i}]$ =

$\sum_{i=1}^{k}$

$i.P_{i}$

= 1.p + 2.p.q + 3.p.

$q^{2}$ + ... + k.p.

$q^{k-1}$

=p.(1 + 2.q + 3.

$q^{2}$ + ... + k.

$q^{k-1}$ )

Ta có:

$(q+q^{2}+q^{3}+ ... + q^{k})'$ =

$1+2q+3.q^{2} + ... + k. q^{k-1}$ =

$(\dfrac{q.(1-q^{k})}{1-q})'$

(

$q^{k}$ ~0)

$(\dfrac{q}{1-q})'$ =

$\dfrac{1}{p^{2}}$

=> E(X) =

$\dfrac{1}{p}$

Vậy

$E(X)=\dfrac{1}{p}$

Bài 2:

f_x(x)=e^-x.I[x>0]

f_y(y) = 2e^-2y. I[y>0]

Vì X, Y độc lập nên ta có hàm mật độ đồng thời của (X,Y):

f_xy(x,y) =

$f_{X}(x).f_{Y}(y)$ =

$2e^{-x-2y}$ .I(x>0,y>0)

Đặt

$\left\{\begin{matrix}Z=X+Y\\V=-X-2Y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}X=2Z+V\\Y=-Z-V\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2z+v\\y=-z-v\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{2z+v>0}\\-z-v>0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{-2z<v}\\v<-z\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{-2z<v<-z}\\z>0\end{matrix}\right.$

Suy ra:

$J=\begin{vmatrix}2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=-1$

Hàm mật độ đồng thời của (Z,V) là:

$f_{z,v}({z,v})=f_{x,y}[x(z,v);y(z,v)].\begin{vmatrix}J\end{vmatrix}.I[{-2z<v<-z<0}]$

= 2

$e^{v}$ .

$I[{-2z<v<-z<0}]$

Hàm mật độ của Z là:

$f_{z}({z})= \int_{-2z}^{-z}f_{z,v}({z,v})dvI[z>0]$

$\int_{-2z}^{-z}$

$2e^{v}dvI[z>0]$

$(2e^{-z}-2e^{-2z}).I[z>0]$

Vậy hàm mật độ của Z = X + Y là :

$f_{z}({z})$ =

$(2e^{-z}-2e^{-2z}).I[z>0]$

Bài 3:

Đặt λ=

$\dfrac{1}{2\theta}$ ta có hàm mật độ:

f(x;

$\theta$ ) =

$\dfrac{1}{2\theta}.e^{-\frac{x}{2\theta}}.I[x>0]$

$\lambda.e^{-\lambda.x}.I[x>0]$

Ta có:

$\int_{o}^{+\infty}\lambda.e^{-\lambda.x}dx=1$

$\Leftrightarrow \int_{o}^{+\infty}e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{1}{\lambda}$

Đạo hàm 2 vế theo

$\lambda$ ta được:

$-\int_{o}^{+\infty}x.e^{-\lambda.x}dx=-\dfrac{1}{\lambda^{2}}$ (*)

$\Leftrightarrow \int_{o}^{+\infty}x.\lambda.e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{1}{\lambda}$

$\Leftrightarrow E(X)=\int_{o}^{+\infty}x.f(x)dx=\dfrac{1}{\lambda}=2\theta$

Đạo hàm 2 vế (*) theo

$\lambda$ ta được:

$\int_{o}^{+\infty}x^{2}.e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{2}{\lambda^{3}}$

$\Leftrightarrow \int_{o}^{+\infty}x^{2}.\lambda.e^{-\lambda.x}dx=\dfrac{2}{\lambda^{2}}$

$\Leftrightarrow E(X^{2})=\int_{o}^{+\infty}x^{2}.f(x)dx=\dfrac{2}{\lambda^{2}}$

$\Leftrightarrow D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)$ =

$\dfrac{2}{\lambda^{2}}$ -

$\dfrac{1}{\lambda^{2}}$ =

$4.\theta^{2}$

Vì mẫu n

$X_{i}$ độc lập nên ta có:

$E\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ =

$E\left ( \dfrac{1}{2n}.\sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )$ =

$\dfrac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})$

$\dfrac{1}{2n}.n.2\theta=\theta$

$\dfrac{\overline{X_{n}}}{2}$ là ước lượng không chệch của

$\theta$

Lại có:

$D\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ =

$D\left ( \dfrac{1}{2n}.\sum_{i=1}^{n}X_{i} \right )$ =

$\left(\dfrac{1}{2n} \right )^{2}\sum_{i=1}^{n}D(X_{i})$

$\left(\dfrac{1}{2n} \right )^{2}.n.(2\theta)^{2}=\dfrac{\theta^{2}}{n}$

Cũng có:

lnf(x;

$\theta$ ) =

$ln\left (\dfrac{1}{2\theta}.e^{-\frac{x}{2\theta}}\right)=ln\dfrac{1}{2\theta}-\dfrac{X}{2\theta}$

$\Leftrightarrow\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}=-\dfrac{1}{2\theta^{2}}.2\theta+\dfrac{X}{2\theta^{2}}$

$\dfrac{1}{2\theta^{2}}.(X-2\theta)$

$E\left(\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^{2}=E\left[\dfrac{1}{2\theta^{2}}.(X-2\theta)\right]^{2}=\dfrac{1}{4\theta^{2}}.E[X-E(X)]^{2}$

$\dfrac{D(X)}{4\theta^{2}}=\dfrac{4\theta^{2}}{4\theta^{4}}=\dfrac{1}{\theta^{2}}$

$\dfrac{1}{n.E\left(\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^{2}}=\dfrac{\theta^{2}}{n}$

$D\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ =

$\dfrac{1}{n.E\left(\dfrac{\partial lnf(x;\theta)}{\partial\theta}\right)^{2}}=\dfrac{\theta^{2}}{n}$

$D\left ( \dfrac{\overline{X_{n}}}{2} \right )$ nhỏ nhất.

Vậy

$\dfrac{\overline{X_{n}}}{2}$ là ước lượng hiệu quả của

$\theta$

Bài 4:

Ta có bảng sau: